2018届盐城三模第14题背景探源

【最美歌词：阿刁不会被现实磨平棱角!】

【编者按】昨晚认真完成了2018届盐城三模试卷,发现第14题小巧灵动,很是有趣。下面和大家分享vectorAB对这道题的思考。

【试题回顾】

设△ABC的面积为2,若角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

则a²+2b²+3c²的最小值为   ．

 【几何背景探源】

 本题的几何背景是斯特瓦尔特(Stewart)定理,参加过数学竞赛的同学应该都比较  熟悉,下面给出该定理的证明.

 设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,

 则有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD.

 证明:记∠BDA=x,则由余弦定理可得

    AB²=BD²+AD²-2BD·AD·cosx           (1)

    AC²=CD²+AD²-2CD·AD·cos(π-x)    (2)

    (1)×CD+(2)×BD得

    AB²·CD+AC²·BD

    =BD²·CD++CD²·BD+ AD²·CD +AD²·BD

    =BD·CD·BC+AD²·BC

 ∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD.

   [备注:向量证明也是非常便捷,有兴趣的朋友可以一试.]

 【试题解决】
    有了这个几何背景,我们可以迅速得到

    2b²+3c²=5AD²+(6BC²)/5

    a²+2b²+3c²=5AD²+(11a²)/5≥2sqrt(11)a·AD

   因为a·AD≥2S,

   所以,a²+2b²+3c²≥4sqrt(11)S=8sqrt(11).

  【其他解法】

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